Suites numériques
Mathématiques
Suites numériques
Définition : Une suite numérique est un ensemble ordonné de nombres.
exemple : {2, 3, 4, 5, 1} ≠ {3, 5, 2, 1, 4}
On peut considérer une suite comme une fonction de N dans R. n ----> u(n) est noté un
Piqûre de rappel sur les ensembles de nombre
N C Z C D C Q C R
N : entiers naturels (1 ; 2 ; 3…)
Z : entiers relatifs (-1 ; -2 ; -3…)
D : nombres décimaux (1,3 ; 4,715…)
Q : rationnels ; Q comme Quotient (1/3 ; 7/11…)
R : ensemble des Réels (√2 ; π ; e…)
Par exemple, pour la première suite (l'exemple plus haut), on a :
u(0) = u0 = 2
u(1) = u1 = 3
u(2) = u2 = 4
u(3) = u3 = 5
u(4) = u4 = 1
Remarque : On n'est pas obligé de commencer à l'indice 0.
La suite complète (l'ensemble ordonné) est notée (un).
Variations
Une suite est dite croissante si, pour tout n de N, un+1 ≥ un. (u1 ≥ u0 ; u2 ≥ u1 ; u3 ≥ u2…)
Une suite est dite décroissante si, pour tout n de N, un+1 ≤ un. (u1 ≤ u0 ; u2 ≤ u1 ; u3 ≤ u2…)
Récurrence
Une définit une suite par récurrence quand on calcule tout terme de la suite à partir des termes qui le précèdent.
exemple : (vn) est définie par v0 = 2,4
et vn+1 = 3 vn + 5
donc on a v1 = 3 v0 + 5
v1 = 3 x 2,4 + 5
v1 = 12,2
et on a v2 = 3 v1 + 5
v2 = 3 x 12,2 + 5
v2 = 41,6
et ainsi de suite…
autre exemple : (wn) est définie par w0 = 2 ; w1 = 5
et wn+2 = wn+1 - wn
w2 = w1 - w0 = 5 - 2 = 3
w3 = w2 - w1 = 3 - 5 = -2
etc.
I) Suites arithmétiques
Définition : La suite (un) est arithmétique si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, [ce nombre étant] la raison r de la suite.
un+1 = un + r
exemple : suite arithmétique de 1er terme u0 = 7 et de raison r = 3
u0 = 7
u1 = 7 + 3 = 10
u2 = 10 + 3 = 13
u3 = 13 + 3 = 16
etc.
Prouver qu'une suite est arithmétique
Une suite est arithmétique si un+1 est constant (toujours égal à la raison).
(un) = {3,1 ; 4,7 ; 6,3 ; 7,9 ; 9,5}
4,7 - 3,1 = 1,6
6,3 - 4,7 = 1,6
7,9 - 6,3 = 1,6
9,5 - 7,9 = 1,6
La suite (un) est arithmétique de raison r = 1,6.
Remarque : Il suffit d'une exception (différence différente) pour que la suite ne soit PAS arithmétique.
Calcul du nème terme
un = u0 + nr
exemple : suite arithmétique (un) de 1er terme u0 = 2,5 et de raison r = 3,5
u7 = u0 + 7r = 2,5 + 7 x 3,5 = 25
u23 = u0 + 23r = 2,5 + 23 x 3,5 = 83
u2407 = u0 + 2407r = 2,5 + 2407 x 3,5 = 8427
un = up + r (n - p)
exemple : suite arithmétique (un) de raison 4,7 telle que u51 = 37
u84 = u51 + r (84 - 51) = 37 + 4,7 x 33 = 192,1
u28 = u51 + r (28 - 51) = 37 + 4,7 x (-23) = -71,1
u0 = u51 + r (0-51) = 37 + 4,7 x (-51) = -202,7
Remarque : On peut toujours calculer u0 pour utiliser la première formule (un = u0 + nr).
exemple : u38 = 217 et r = 2 ; pour calculer u67, on peut faire :
u0 = u38 - 38r = 217 - 38 x 2 = 141
u67 = u0 + 67r = 141 + 67 x 2 = 275
Sens de variation
Si r > 0 alors (un) est croissante.
Si r < 0 alors (un) est décroissante.
Représentation graphique
Une suite arithmétique est une fonction affine [f(x) = ax + b] limitée aux entiers naturels ; sa représentation graphique est donc constituée de points alignés.
II) Suites géométriques
Définition : La suite (un) est géométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, [ce nombre étant] la raison q de la suite.
un+1 = un x q
exemple : suite géométrique (un) de 1er terme u0 = 7 et de raison q = 3
u0 = 7
u1 = 7 x 3 = 21
u2 = 21 x 3 = 63 ; u2 = 7 x 3 x 3 = 7 x 32
u3 = 63 x 3 = 189 ; u3 = 7 x 32 x 3 = 7 x 33
Prouver qu'une suite est géométrique
Pour prouver qu'une suite est géométrique, on calcule (un+1)/(un). Si on trouve toujours le même résultat, la suite est géométrique et le rapport trouvé est la raison q.
exemple : {2 ; 14 ; 98 ; 686}
14/2 = 98/14 = 686/98 = 7
Cette suite est géométrique et de raison 7.
Calcul du nème terme
un = up x qn-p
exemple : pour calculer u54 en connaissant u28, on fait u54 = u28 x q54-28.
Sens de variation
Si -1 < q < 1 alors (un) se rapproche de 0.
Source : cours de Mathématiques de première.